Το Ίδρυμα διοικείται από δεκαπενταμελές Διοικητικό Συμβούλιο. Τα αρχικά μέλη του Δ.Σ., τα οποία καθόρισε το 1975 ο Αριστοτέλης Ωνάσης στη διαθήκη του ως ισόβια μέλη, ήταν έμπιστα στελέχη και επιχειρηματικοί συνεργάτες του. Ανάμεσα τους ήταν οι Νίκος Κοκκίνης, Μιχάλης Δολόγλου, Στέλιος Παπαδημητρίου, Παύλος Ιωαννίδης, Απόστολος Ζαμπέλας, Creon Brown, κ.ά. Σε αυτούς, προστέθηκαν με την πάροδο του χρόνου άλλα σημαντικά στελέχη των επιχειρήσεων του Ωνάση, όπως ο Θεόδωρος Γαβριηλίδης
Πρώτη Πρόεδρος του Ιδρύματος ήταν η Χριστίνα Ωνάση, μέχρι τον θάνατό της το 1988. Την διαδέχθηκε ο Στέλιος Παπαδημητρίου, έμπιστος δικηγόρος του Αριστοτέλη Ωνάση, εκτελεστής της διαθήκης του και επικεφαλής των ναυτιλιακών επιχειρήσεών του. Ο Στέλιος Παπαδημητρίου απεβίωσε το 2005.
Τον διαδέχτηκε ο γιος του Αντώνης Σ. Παπαδημητρίου, ο οποίος είναι ο πρόεδρος του Δ.Σ. μέχρι σήμερα.
Η καταγωγή των Καποδίστρια είναι από το ακρωτήριο Ίστρια της Αδριατικής (Capo d'Istria) ενώ κατ' άλλους από τη Βενετία.[1] Εγκαταστάθηκαν στην Κέρκυρα το 1375 και εγγράφηκαν στην Χρυσή Βίβλο της Κέρκυρας το 1477.[2] Όλοι οι απόγονοι[1] του Νικολάου και του Αντωνίου Καποδίστρια είχαν το δικαίωμα να φέρουν τον τίτλο του κόμη, που τους είχε απονείμει ο Κάρολος Εμμανουήλ Β΄, δούκας της Σαβοΐας και βασιλιάς της Κύπρου, το 1689. Η αναγνώριση του τίτλου από την Δημοκρατία της Βενετίας πραγματοποιήθηκε μόλις την 1η Ιουλίου 1796. Ο Κάρολος Εμμανουήλ Β΄ είχε πεθάνει ήδη από το 1675, γεγονός που καθιστά αδύνατο να παραχώρησε τίτλο ευγενείας στους Καποδίστρια το 1689, δεκατέσσερα χρόνια δηλαδή μετά τον θάνατό του. Το λάθος αυτό δεν έγινε αντιληπτό από κανέναν μέχρι το 1968, οπότε και το επισήμανε ο Ricaldone. Έρευνες στα ιστορικά αρχεία του οίκου της Σαβοΐας δεν κατέστησαν δυνατή την εύρεση κάποιου στοιχείου σχετικά με την παραχώρηση τίτλου ευγενίας στους Καποδίστρια. Πιθανόν είναι είτε να πρόκειται για λάθος στο έγγραφο είτε ο τίτλος να μην παραχωρήθηκε ποτέ.[1]
Κατά τον 15ο αιώνα απέκτησαν τεράστιες εκτάσεις στο νησί και σταδιακά η οικογένεια διακρίθηκε σε τρείς κλάδους[3]: των Σούφη, της κοντράδας των Μουράγιων και του Αγίου Δημητρίου. Από αυτής των Μουράγιων προήλθαν οι περισσότεροι πολιτικοί που φέρουν το επώνυμο Καποδίστριας ενώ από των Σούφη ο Λορέντζος Μαβίλης[3]. Τα μέλη της οικογένειας συνδέθηκαν με επιγαμίες με σημαντικές οικογένειες του νησιού όπως η Οικογένεια Βλασοπούλου, η Οικογένεια Γονέμη, η Οικογένεια Βασιλάκη και άλλες.